Gödel en Turing

Vandaag begonnen met het lezen van:
Een bezetene droomt van turingmachines
Geschreven door Janna Levin

Een verhaal over gecodeerde en psychotische waanvoorstellingen
Geobsedeerd door de levens van Gödel en Turing
Een compleet verzonnen verhaal, maar helemaal waar
Een roman

Bij doorbladeren (dat doe ik bij 'wiskundeboeken' altijd als eerste) viel me op: op enkele pagina's iets wat op wiskunde leek, een 'formule', en steeds dezelfde, nl.
1 + 1 = 2
En soms met een vraagteken erachter..., maar niet, omdat aan de juistheid daarvan getwijfeld wordt.
Geen wiskundeboek dus; inderdaad een roman!

» Link naar Uitgeverij Contact

Logisch toch?

"Karel heeft meer dan 1000 boeken", zegt Anton.
"Nee hoor, hij heeft er minder", zegt Bea.
"Hij heeft ten minste één boek", zegt Cor.
Als precies één van deze uitspraken waar is, hoeveel boeken heeft Karel dan?

Dag van het Gedicht - 25 januari 2007

Uit mijn eigen omgeving: het Dichterscollectief IJssel en Lek:

Overdracht

Ik draag mijn woorden.
Maar weeg ze niet.
Want ze zijn gewichtsloos.
Totdat ze raken.
En dan.
Mag jij ze dragen.

Zodat je weet.

» Link naar de website van de 'Dijkdichters'

Limerick 6 - Euler

Prof.dr. O. Bottema (1901-1992) publiceerde onderstaande limerick (niet van hemzelf, overigens) in één van zijn Verscheidenheden (de vijftigste, Feestnummer, in Euclides, jaargang 37, 1961/1962).

Een hoofdonderwijzer uit Rauwerderhem

Wist niets van Euler (en die niet van hem),

Maar ondekt tot zijn glorie,

A posteriori,

Het collineair zijn van H, Z en M.

En H, Z en M zijn dan het hoogtepunt, zwaartepunt en middelpunt (van de omcirkel) van een driehoek.

De lijn e (zie plaatje) is de Euler-lijn van de driehoek.

Liefde in de meetkunde?

THE DOT and THE LINE, a romance in lower mathematics (by Norton Juster).
De Wiskundemeisjes maakten er melding van.
Het boekje staat als sinds 1963 (jawel) in m'n boekenkast.

En dan is er nu een animatiefilmpje op YouTube (twee keer klikken):Mooi!

2007 - 1707 = Euler

Laplace: "Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre maître à tous."
Euler zelf schreef evenwel in het Latijn...

In m'n studeerkamer hangt een plaatje waarop de volgende formule staat:
met daaronder de tekst Leonard Euler (1707 - 1783).
Ik keek er vandaag toevallig naar.
De formule is m.i. daarom bijzonder omdat de getallen 'e', 'pi', 'i' en 0, 1 erin voorkomen, én omdat de basisoperaties van de wiskunde worden gebruikt: machtsverheffing, vermenigvuldiging en optelling.

Op 15 april a.s. is het 300 jaar geleden dat Euler in Basel werd geboren.
Hij zou de belangrijkste wiskundige van de 18e eeuw worden. En hij is wellicht de meest productieve wiskundige ooit.
2007 zou dus met recht het Euler-jaar kunnen zijn, en niet het jaar van het varken, de molens, dolfijn, pinguin, digitale dictatuur, gelijke kansen voor iedereen, ...
Eventueel nog wel van Buffon of Linnaeus, die ook in 1707 zijn geboren.
(Google zelf nog verder met ' 2007 "year of " ' c.q. ' 2007 "jaar van" '.)

En kijk verder ook eens op:
- Wikipedia-NL
- Math4All
- The Euler Archive
- ... (Google maar weer.)

Links, rechts

Er is de laatste tijd nogal wat te doen over de 'ingangstoetsen' in het wetenschappelijk onderwijs.

Een opgave die best zou passen in een mogelijke ingangstoets voor het basisonderwijs is de volgende.

Vraag: 'In welke richting rijdt de bus?'

Kijk aandachtig naar de tekening. Weet jij het antwoord?
De enig mogelijke antwoorden zijn 'links' en 'rechts'. Denk goed na!
En, verklaar je antwoord...

Met dank aan Mark-Jan Bremmer & Thea Schraders (Atlas Software).

Het abc-vermoeden - Reken mee met ABC!

Neem twee positieve gehele getallen a en b die geen gemeenschappelijke delers (anders dan 1) hebben.
En tel ze op: c = a + b.
Bepaal dan de verschillende priemdelers van a, b en c. Dus bijvoorbeeld:

a = 1
b = 8 = 2•2•2
c = 9 = 3•3
De verschillende priemdelers, hier 2 en 3, vermenigvuldigen we met elkaar. Het product r noemen we het radicaal van a, b en c:
r = 2•3 = 6
Is r kleiner dan c, dan hebben we een zogenoemd abc-drietal: (1,8,9) is dan een abc-drietal, want 6 is kleiner dan 9.

Is r groter dan of gelijk aan c, dan hebben we geen abc-drietal, zoals bij:
a = 5
b = 16 = 2•2•2•2
c = 21 = 3•7
met r = 2•3•5•7 = 210. Omdat 210 > 21, is (5,16,21) geen abc-drietal.

Nog een voorbeeld.
a = 5
b = 27 = 3•3•3
c = 32 = 2•2•2•2•2
r = 2•3•5 = 30, en dus is (5,27,32) een abc-drietal.

Van elk gevonden abc-drietal (er bestaan er oneindig veel, maar ze zijn niet zo gemakkelijk te vinden), kan de zogenoemde kwaliteit, die we aangeven met q, worden berekend (hoe dat gaat, vermelden we hier niet).
Zo is q(1,8,9) = 1,22... en q(5,27,32) = 1,01...
Hoe groter q, des te beter is het abc-drietal. En we willen het beste abc-drietal proberen te vinden; dus, als het kan, het drietal met de grootste q.

En het abc-vermoeden is dan ...
Ja, het abc-vermoeden is in ieder geval een nog onopgelost probleem in de getaltheorie.
En hoe het vermoeden luidt, staat te lezen op de website www.rekenmeemetabc.nl.
En als je een computer hebt, dan kan je inderdaad mee rekenen!

Het project 'Reken mee met ABC' is een, op 16 januari 2007 gestart, initiatief van het Mathematisch Instituut van de Universiteit Leiden en van Kennislink.

» Meer informatie: klik hier!

Cijfer-shift

Welke eigenschap hebben de onderstaande (in meerderheid grote) getallen (en ze staan in de juiste volgorde) met elkaar gemeen?
En dan natuurlijk niet dat ze allemaal met een 1 beginnen!
a. 11
b. 105.263.157.894.736.842
c. 1.034.482.758.620.689.655.172.413.793
d. 102.564
e. 102.040.816.326.530.612.244.897.959.183.673.469.387.755
f.
g. 1.014.492.753.623.188.405.797
En welk getal, bestaande uit 58 (?) cijfers en met als laatste cijfer een 6, moet er dan achter f staan?
En je mag het rijtje natuurlijk verder voortzetten...

Woordkunst

Uit de serie ModernMantra van Thomas Broomé (Stockholm, Zweden): twee inkttekeningen, rolexRolex en rolexBIZARRO (72 x 102 cm)

Is de ene het spiegelbeeld van de andere? Zoek de verschillen!

(Klik op het plaatje voor een grotere afbeelding.)

» Link naar Broomé's website

Opperlands

1. De kerk in Lekkerkerk:
LEKKERKERKERKERK
2. Een erker in de kerk in Lekkerkerk (heeft die kerk er inderdaad ten minste één?):
LEKKERKERKERKERKERKER
3. En toen ontwierp een architect een kerk met zo'n erker als basis:
LEKKERKERKERKERKERKERKERK

4. En een erker in die kerk is natuurlijk een: LEKKERKERKERKERKERKERKERKERKER

5. En hierop voortbordurend krijgen we (een woord met 6 ees, 6 kaas en 6 erren, een 'hexawoord'):
(ERK)^6 = ERKERKERKERKERKERK
Dit is natuurlijk het soort kerk waartoe de onder 3 bedoelde kerk behoort...

Hij heeft z'n hoofd erbij kunnen houden!

Hhzhekh! Een eerste gedachte bij het zien van deze foto.

Limerick 5, of eigenlijk 0

Een slager woonachtig in Bonrepas,
schreef limericks die geen sterveling las.
Hij zocht naar de oorzaak,
En dat bleek z'n doorbraak.
Hij ontdekte namelijk dat hij, onder zijn dagelijks motto 'mag het een onsje meer zijn', helaas te veel woorden in de allerlaatste regel van zijn doorwrochte werkjes placht te zetten, maar steeds wel een ietsje minder dan in werkelijkheid mogelijk was.

Bijzondere getallen?

Mijn bijzondere getal is 153.

Trouwens, er geldt:
Stelling. Alle natuurlijke getallen zijn bijzonder.
"Bewijs" (uit het ongerijmde). Stel x is een niet-bijzonder natuurlijk getal.
1. Als er meer van dit soort getallen zijn, dan kiezen we voor x het kleinste daarvan.
2. Als x het enige niet-bijzondere getal is, dan is x automatisch het kleinste niet-bijzondere getal.
En dan is x toch bijzonder: x is het kleinste niet-bijzondere getal!

En waarom dan toch 153? Omdat:
153 = 1³ + 5³ + 3³
153 = 1! + 2! + 3! + 4! + 5!
153 = 1 + 2 + ... + 16 + 17
En ook omdat er in Joh. 21-11 staat:
"Simon Petrus ging op, en trok het net op het land, vol grote vissen, tot honderd drie en vijftig."
En verder, kijkend naar de verschillende priemfactoren:
153 = 3 • 3 • 17 en 3 + 17 = 20
154 = 2 • 7 • 11 en 2 + 7 + 11 = 20
Het paar (153, 154) is een zogenoemd Ruth-Aaron-paar.
En niet in de laatste plaats omdat 153 altijd het resultaat is van het volgende algoritme:
1. Kies een willekeurig getal dat deelbaar is door 3.
2. Bekijk de cijfers van dat getal in het 10-tallig stelsel.
3. Neem de som van de derde machten van de cijfers en tel ze op.
4. Ga naar stap 2.
Voorbeeld. Ga uit van het getal 24.
24: 2³ + 4³ = 72
72: 7³ + 2³ = 351
351: 3³ + 5³ + 1³ =153

Bètacanon

Een initiatief van de Volkskrant: de Bètacanon («« lees daar verder onder het motto 'Nul staat voor niets').

Elke zaterdag zal een artikel in de wetenschapsbijlage verschijnen over ‘iets dat elke Nederlander zou moeten weten van de exacte wetenschappen en techniek’.

Niet voor niets gaat de eerste aflevering over het getal 0.

Ronald Plasterk, initiatiefnemer van deze canon:

"Het initiatief is natuurlijk geïnspireerd door de canon van de Nederlandse geschiedenis, gemaakt onder leiding van de neerlandicus Frits van Oostrom. Van hem hebben we het goede idee overgenomen om de canon, dus alles wat een ontwikkeld mens eigenlijk zou moeten weten, op te stellen via vensters waardoorheen je zicht krijgt op een veel breder thema, zoals de dynamiek van de aardbol of de getallenleer."

Lees hier wat Plasterk er afgelopen zondag in Buitenhof verder over zei.

Fout?

We beweren het volgende.

Drie beweringen zijn onjuist.
Welke beweringen zijn dat?

Wie is wie?

Op een bankje zitten een jongen en een meisje.
"Ik ben een jongen", zegt degene met zwart haar.
"Ik ben een meisje", zegt degene met blond haar.
Als tenminste één van beiden onwaarheid spreekt, wat is dan de haarkleur van de jongen en van het meisje?

Limericks?

1.
Een dichter met heel veel pretenties
Schreef zijn limericks conform de conventies,
Maar tot regel drie...

2.
Een limerickschrijver in Enschede
Kwam nooit verder dan regel twee.

3.
Een wiskundeleraar in Hoogeveen.

4.

Leven?

Vraagje en tevens een gedachte (bij Freek de Jonge's 'Leven na de dood', 1997):
"Is er eigenlijk wel leven vóór de dood?"